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By A. Pelczynski

This publication surveys effects pertaining to bases and numerous approximation homes within the classical areas of analytical services. It includes wide bibliographical reviews.

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There are various bits and items of folklore in arithmetic which are handed down from consultant to pupil, or from collaborator to collaborator, yet that are too fuzzy and non-rigorous to be mentioned within the formal literature. generally, it was once a question of good fortune and site as to who discovered such folklore arithmetic.

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OSTROWSKI [1]. 1) log MA, ~ Ä. a § 2. Anwendungen auf den absoluten Betrag einer analytischen Funktion. 1 ~ A. ~ A. 1 , 10gMA• und A. 2 , 10gMJ• verbindet, nicht oberhalb der diese Endpunkte verbindenden Sehne verlaufen, deren Ordinate durch die rechte Seite der obigen Ungleichung gegeben wird. Hieraus schließt man: Der Logarithmus des Maximalbetrages 10gMJ, ist eine konvexe Funktion des Parameters A.. Er hat also eine monoton wachsende, bis auf abzählbar viele Sprungstellen stetige erste Ableitung d l~~ M J.

Wir fixieren zwei Werte Al' ).. ~. und der Zweikonstantensatz ergibt die für Al gf1ltige Beziehung 1og M), ~ _ 1 (1 - ~) log M),I F. u. R. NBVANUNNA [1], + (1. OSTROWSKI [1]. 1) log MA, ~ Ä. a § 2. Anwendungen auf den absoluten Betrag einer analytischen Funktion. 1 ~ A. ~ A. 1 , 10gMA• und A. 2 , 10gMJ• verbindet, nicht oberhalb der diese Endpunkte verbindenden Sehne verlaufen, deren Ordinate durch die rechte Seite der obigen Ungleichung gegeben wird. Hieraus schließt man: Der Logarithmus des Maximalbetrages 10gMJ, ist eine konvexe Funktion des Parameters A..

Dann giU in jedem Punkt des Gebietes 0 < A < co (z, (X, G) gleichung log Iw(z)1 < A logm + (1 - A) logM. < (X von G t die Un- Aul der Niveaulinie co(z, «, G) = Ä (0< Ä < 1) ist log Iw(%)/ ;;;; A logm + (1 - A) logM. -tp(z), wo p. onische Maß co (%, (X, G) hat. 3? Dieser Satz erlaubt eine interessante Folgerung in bezug auf dem Maximalbetrag M), einer in G definierten Funktion w(%) auf der Niveaulinie co (%, (X, G) = A. Wir fixieren zwei Werte Al' ).. ~. und der Zweikonstantensatz ergibt die für Al gf1ltige Beziehung 1og M), ~ _ 1 (1 - ~) log M),I F.

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