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By Thomas Keilen

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Poincares legacies: pages from year two of a mathematical blog

There are various bits and items of folklore in arithmetic which are handed down from consultant to scholar, or from collaborator to collaborator, yet that are too fuzzy and non-rigorous to be mentioned within the formal literature. characteristically, it used to be a question of success and site as to who realized such folklore arithmetic.

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Beweis: a. Es gilt sgn(σ) · sgn σ−1 = sgn σ ◦ σ−1 = sgn(id) = 1. Daraus folgt die Behauptung, da sgn(σ) und sgn σ−1 nur die Werte 1 und −1 annehmen k¨onnen. b. Ist σ ∈ Sn , so gilt entweder sgn(σ) = 1 oder sgn(σ) = −1. In ersterem Fall ist σ ∈ An ; in letzterem Fall ist sgn(σ ◦ τ) = sgn(σ) · sgn(τ) = (−1) · (−1) = 1 und somit σ ◦ τ ∈ An , dann ist aber σ = (σ ◦ τ) ◦ τ ∈ An τ. Dies zeigt, daß jedes Element der Sn in einer der beiden Mengen An oder An τ liegt. Beachte auch, daß die Elemente der beiden Mengen verschiedenes Signum haben, so daß die Mengen in der Tat disjunkt sind.

18 Die Aussage “wir k¨ onnen ohne Einschr¨ ankung annehmen” bedeutet, daß wir nur einen speziellen Fall betrachten, daß aber offensichtlich ist, wie man aus diesem Spezialfall den allgemeinen Fall herleiten w¨ urde. Letzteres tut man dann nicht explizit, da es meist mit einem hohen Notationsaufwand und vielen Indizes verbunden w¨are, ohne eine tiefere Einsicht zu bringen. Man sollte allerdings nur dann etwas ohne Einschr¨ankung annehmen, wenn man sich sicher ist, daß die u ¨brigen F¨alle in der Tat leicht aus dem Spezialfall folgen!

Ist o(g) < ∞, so ist o(g) ein Vielfaches von o α(g) . b. Zeige, α ist genau dann injektiv, wenn o(g) = o α(g) f¨ ur alle g ∈ G gilt. 17 auch (R2 , +) mit der komponentenweisen Addition eine Gruppe. Zeige, daß folgende Abbildung α : R2 −→ R : (x, y) → 2x + 3y 34 ein Gruppenhomomorphismus ist. Bestimme das Bild und den Kern von α. Ist α injektiv / surjektiv? 17 auch die Menge G = (R \ {0}) × R mit der Operation (r, s) ∗ (r ′ , s ′ ) := (r · r ′ , s + s ′ ) eine Gruppe. Zudem wissen wir, daß die komplexen Zahlen (C \ {0}, ·) ohne die Null bez¨ uglich der Multiplikation eine Gruppe sind.

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